スピングラス模型の分布関数の一般化

スピングラス模型における分布関数を少しだけ一般化をする．

通常の分布関数
デルタ関数
分布関数の一般化

通常の分布関数

通常の分布関数はそれぞれ以下の通り．

$\pm J$ 模型：

$P(J_{ij})=p\delta(J_{ij}-J)+(1-p)\delta(J_{ij}+J)$

ガウス模型：

$P(J_{ij})=\frac{1}{\sqrt{2\pi J^{2}}}\exp\left(-\frac{(J_{ij}-J_{0})^{2}}{2J^{2}}\right)$

これは，中心が $J_{0}$ ，分散が $J^{2}$ の模型となる．

デルタ関数

デルタ関数の以下の性質を思い出す．

$\delta(k-k_{0})=\lim_{\alpha\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{2\pi\alpha}}\exp\left(-\frac{(k-k_{0})^{2}}{2\alpha}\right)$

分布関数の一般化

2値ガウス模型の分布関数を以下の通りとする．

$P(J_{ij})=p\frac{1}{\sqrt{2\pi {J^{\prime}}^{2}}}\exp\left(-\frac{(J_{ij}-J)^{2}}{2{J^{\prime}}^{2}}\right)+(1-p)\frac{1}{\sqrt{2\pi {J^{\prime}}^{2}}}\exp\left(-\frac{(J_{ij}+J)^{2}}{2{J^{\prime}}^{2}}\right)$

デルタ関数の上記の極限より $J^{\prime}\rightarrow 0$ で $\pm J$ 模型となる．また， $p=1$ のとき中心が $J$ ，分散が ${J^{\prime}}^{2}$ の模型となり， $p=0$ のとき中心が $-J$ ，分散が ${J^{\prime}}^{2}$ の模型となり， $\pm J$ 模型とガウス模型の双方を含んだ分布関数となっている．この分布関数において， $p=\frac{1}{2}$ の場合などは，果たして何を意味しているのであろうか．